"Калькулятор не поможет!" — задача из обычного учебника алгебры, которая ставит в тупик всех учеников. Неравенство Бернулли

Есть совершенно обычный учебник Андрея Николаевича Колмогорова "Алгебра и начала анализа", по которому учатся ученики многих российских школ. Я, к слову, сам, будучи школьником, учился по этой книге.

Учебник "Алгебра и начала анализа" А.Н.Колмогоров
Учебник "Алгебра и начала анализа" А.Н.Колмогоров

Так вот в этой книге есть такое задание. Надо сравнить два числа. Я не могу их тут напечатать, чтобы было красиво, поэтому смотрите фото ниже. Могу только написать вот так: 2^3^100 и 3^2^150. Или словами: два в степени три в степени сто или три в степени два в степени сто пятьдесят?

Сложность в том, что в школе по большей части решают упражнения, где надо сравнить степени, у которых одинаковое основание или одинаковый показатель. Ну или их можно путем нехитрых манипуляций сделать одинаковыми. Тут же этот способ не работает.

Более того, в данном случае не поможет даже калькулятор, потому что он не умеет считать такие огромные числа (исхитриться, конечно, можно, но это тот случай, когда проще самому). И уж совсем попадалово для учеников в том, что ответов на этот номер в конце книги нет.

Этот пример своего рода индикатор, чтобы понять, решает ребенок домашку сам или списывает из решебников. Потому что никто самостоятельно эту задачу решить не может. Она ставит в тупик абсолютно всех учеников.

Как быть? Есть идеи? Пишите в комментариях, пока не дошли до решения.

***

Ну а теперь поехали решать. В нашем случае есть "башня степеней", а значит, возводить в степень нужно справа налево или сверху вниз. Для удобства можно поставить скобочки.

Знак сравнения обозначается галочкой, если что. Некоторые этого не знают почему-то.
Знак сравнения обозначается галочкой, если что. Некоторые этого не знают почему-то.

Для начала мы должны избавиться от степени в каком-то из чисел. Я избавлюсь от степеней у тройки. Чтобы неравенство не изменилось и не изменило знак, нужно возвести оба числа в степень 1/2¹⁵⁰. Впрочем, тут удобнее смотреть галерею и читать подписи.

После преобразований мы можем воспользоваться неравенством Бернулли. Проблема в том, что даже если школьник и знает неравенство Бернулли (что редкость, потому что в ЕГЭ оно не встречается), то он даже не догадывается, что его тут нужно применить.

Обычно в этом месте учитель должен сказать "легко видно, что наш показатель степени подходит под эти условия". На самом же деле это звучит как издевка. Потому что ни фига не легко это увидеть. Особенно тогда, когда ты вообще не помнишь или не знаешь, про это неравенство. К тому же это я его привел к виду (1+⅛), а когда это записано как 9/8, вообще неочевидно, что дальше делать. Не все учителя-то могут сходу решить эту штуку, так что тогда требовать от учеников? В общем, загнул Андрей Николаевич Колмогоров.

Расписываем наш показатель степени по неравенству Бернулли. x=⅛, а n=50.
Расписываем наш показатель степени по неравенству Бернулли. x=⅛, а n=50.

Ну а теперь, можно в три строчки записать все наши рассуждения.

Понятно, что если уж 2²=4, то 2 в степени 7,25 ещё больше и уж точно больше трёх. Значит, можем смело ставить знак "больше". Вот такая задачка в обычном школьном учебнике алгебры за 10-11 классы. Как вам?

Напоминаю, что у меня есть одноименный Ютуб-канал. Приглашаю всех зайти и подписаться, там есть разборы интересных задачек, в том числе и этой, математические лайфхаки, задачи на логику и целые мини-лекции.

Вам может понравиться